Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1 ， 平面BAC1⊥平面ACC1A1 ， ∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩A1C=O．
（Ⅰ）求證：BO⊥平面AA1C1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）依題意，四邊形AA1C1C為菱形，且∠AA1C1=60° ∴△AA1C1為正三角形，又∠BAC1=60°，
∴△BAC1為正三角形，又O為AC1中點，
∴BO⊥AC1 ，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1 ，
∵BO平面AA1CC1 ， ∴BO⊥平面AA1C1C．
解：（Ⅱ）以O為坐標原點，建空間直角坐標系，如圖，
令AB=2，則 ，C1（0，1，0）
∴ ，
設平面BB1C1的一個法向量為 ，
由 得 ，
取z=1，得
又面ABC1的一個法向量為
∴
故所求二面角的余弦值為

【解析】（Ⅰ）推導出BO⊥AC1 ， 由此利用平面ABC1⊥平面AA1C1C，能證明BO⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）以O為坐標原點，建空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．