Question

15．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinα+cosα}\\{y=sinα-cosα}\end{array}\right.$ （α為參數）
（1）求曲線C的普通方程；
（2）在以O為極點，x正半軸為極軸的極坐標系中，直線l方程為$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）+1=0，已知直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）把參數方程中的x，y平方相加即可得普通方程；
（2）把直線l方程為$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）+1=0化為普通方程為：x-y+1=0，然后根據弦長公式計算即可．

解答 解：（1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinα+cosα}\\{y=sinα-cosα}\end{array}\right.$ （α為參數），
x，y平方相加可得：x²+y²=2，①
（2）直線l方程為$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）+1=0化為普通方程為：x-y+1=0，②
由②得：y=x+1，③
把③帶入①得：2x²+2x-1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=-1}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}\sqrt{3}$
=$\sqrt{6}$

點評 本題主要考查參數方程和普通方程的互化以及弦長公式，屬于中檔題．