Question

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點）.點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點.
（i）設(shè)直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；
（ii）求面積的最大值.

Answer 1

（1）.（2）（ⅰ）存在常數(shù)使得結(jié)論成立.（ⅱ）.

試題分析：（1）首先由題意得到，即.
將代入可得，
由，可得.得解.
（2）（ⅰ）注意從確定的表達式入手，探求使成立的.
設(shè)，則，
得到，
根據(jù)直線BD的方程為，
令，得，即.得到.
由，作出結(jié)論.
（ⅱ）直線BD的方程，
從確定的面積表達式入手，應(yīng)用基本不等式得解.
試題解析：（1）由題意知，可得.
橢圓C的方程可化簡為.
將代入可得，
因此，可得.
因此，
所以橢圓C的方程為.
（2）（ⅰ）設(shè)，則，
因為直線AB的斜率，
又，所以直線AD的斜率，
設(shè)直線AD的方程為，
由題意知，
由，可得.
所以，
因此，
由題意知，
所以，
所以直線BD的方程為，
令，得，即.
可得.
所以，即.
因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立.
（ⅱ）直線BD的方程，
令，得，即，
由（ⅰ）知，
可得的面積，
因為，當且僅當時等號成立，
此時S取得最大值，
所以的面積的最大值為.