Question

如圖，已知橢圓，直線的方程為，過右焦點的直線與橢圓交于異于左頂點的兩點，直線，交直線分別于點，．
（1）當時，求此時直線的方程；
（2）試問，兩點的縱坐標之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2），兩點的縱坐標之積為定值.

試題分析：（1）討論①當直線的斜率不存在時，確定得到，又
 不滿足；
②當直線的斜率存在時，設方程為
代入橢圓得；
應用韋達定理研究，解得 求得直線的方程；
（2）的方程為與的方程：聯立
確定 同理得，
從而.
討論不存在、存在的兩種情況，得出結論.
（1）①當直線的斜率不存在時，由可知方程為
代入橢圓得又
 不滿足              2分
②當直線的斜率存在時，設方程為
代入橢圓得          3分
設得          4分


 故直線的方程；                   6分
（2）的方程為與的方程：聯立
得： 同理得                   8分

①不存在時，                  9分
②存在時，               12分
，兩點的縱坐標之積為定值                           13分