Question

（本小題滿分12分）
已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.
（1）求曲線的方程；
（2）曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點，以為直徑作圓，過點作圓的切線，切點為，試探究：當點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段的長度是否發生變化？證明你的結論.

Answer 1

（1）.（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明見解析.

試題分析：（1）思路一：設為曲線上任意一點，
依題意可知曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
得到曲線的方程為.
思路二：設為曲線上任意一點，
由，化簡即得.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設，得，
應用導數的幾何意義，確定切線的斜率，進一步得切線的方程為.
由，得.
由，得.
根據，得圓心，半徑，
由弦長，半徑及圓心到直線的距離之關系，確定.
試題解析：解法一：（1）設為曲線上任意一點，
依題意，點S到的距離與它到直線的距離相等，
所以曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設，則，
由，得切線的斜率
，
所以切線的方程為，即.
由，得.
由，得.
又，所以圓心，
半徑，
.
所以點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變.

解法二：
（1）設為曲線上任意一點，
則，
依題意，點只能在直線的上方，所以，
所以，
化簡得，曲線的方程為.
（2）同解法一.