Question

矩陣與變換．已知矩陣A=

1 a -1 b

，A的一個特征值λ=2，屬于λ的特征向量是

α1

=

2 1

，求矩陣A與其逆矩陣．
坐標系與參數方程已知直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，在曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ為參數)上求一點，使它到直線l的距離最小，并求出該點坐標和最小距離．

Answer 1

分析：A：根據特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數法建立等式關系，從而可求矩陣A，再利用公式求逆矩陣．
B：將直線的參數方程化為普通方程，曲線C任意點P的坐標為（-1+cosθ，sinθ），利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值，并求出此時θ的度數，即可確定出所求點P的坐標．

解答：解：A：由題意知

1 a -1 b

2′ 1′

=2

2′ 1′

，
得

2+a=4 -2+b=2

，
解得

a=2 b=4

，
∴A=

1 2 -1 4

，
∴A^-1=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

．
B：將直線l化為普通方程得：x+y-1=0，
設所求的點為P（-1+cosθ，sinθ），
則P到直線l的距離d=

|-1+cosθ+sinθ-1|

2

=|sin（θ+

π

4

）-

2

|，
當θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

4

時，sin（θ+

π

4

）=1，d取得最小值

2

-1，
此時點P的坐標為（-1+

2

2

，

2

2

）．

點評：A：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，同時考查了逆矩陣求解公式，屬于基礎題．
B：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有直線與圓的參數方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，根據曲線C的參數方程設出所求P的坐標，根據點到直線的距離公式表示出d，進而利用三角函數來解決問題是解本題的思路．