Question

（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=

.

3 3 c d

.

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為

α1

=

.

1 1

.

，屬于特征值1的一個特征向量為

α2

=

.

3 -2

.

．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．

Answer 1

分析：根據特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數法建立等式關系，從而可求矩陣A，再利用公式求逆矩陣．

解答：解：由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁=

.

1 1

.

可得

.

3 3 c d

.

.

1 1

.

=6

.

1 1

.

，
即c+d=6；            …（3分）
由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₂=

.

3 -2

.

，可得

.

3 3 c d

.

.

3 -2

.

=

.

3 -2

.

，
即3c-2d=-2，…（6分）
解得即A=

.

3 3 2 4

.

，…（8分）
∴A逆矩陣是A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

．

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，同時考查了逆矩陣求解公式，屬于基礎題．