Question

（2013•江蘇一模）（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=

1 a c 0

的一個特征值為λ₁=-1，其對應的一個特征向量為α1=

-1 1

，已知β=

8 1

，求A⁵β．

Answer 1

分析：利用特征值、特征向量的定義，構建方程組，由此可求矩陣A．再求矩陣A的特征多項式，從而求得特征值與特征向量，利用矩陣A的特征值與特征向量，進而可求A⁵β．

解答：解：依題意：Aα₁=-α₁，…（4分）
即

1 a c 0

-1′ 1′

=-

-1 1

，
∴

-1+a=1 -c=-1

，∴

a=2 c=1

…（8分）
A的特征多項式為f（λ）=（λ-1）λ-2=λ²-λ-2=0，
則λ=-1或λ=2．
λ=2時，特征方程

x-2y=0 -x+2y=0

，屬于特征值λ=2的一個特征向量為

2′ 1′

，
∵β=

8 1

=-2

-1′ 1′

+3

2′ 1′

，
∴A⁵β=-2×（-1）⁵

-1′ 1′

+3×2⁵

2′ 1′

=

190′ 98′

．

點評：本題考查待定系數法求矩陣，考查特征值與特征向量，理解特征值、特征向量的定義是關鍵．