Question

已知：函數(shù)f（x）定義在R上，對任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0）；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是偶函數(shù)．

解答： 解：（1）令x=y=0，則由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）
得f（0）+f（0）=2f（0）f（0）=2f（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；
（2）∵f（0）=1；
∴令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），
即f（-y）=f（y），
即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用賦值法是解決本題的關鍵．