Question

已知S_n=2ⁿ+C

1 n

2^n-1+C

2 n

2^n-2+…+C

n-1 n

2+1，（n∈N^*），求證：當n為偶數時，S_n-4n-1能被64整除．

Answer 1

考點：組合數公式的推導

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法,排列組合,二項式定理

分析：利用組合數的性質可知，S_n=（1+2）ⁿ=3ⁿ，再利用數學歸納法證明即可．

解答： 證明：∵S_n=2ⁿ+C

1 n

2^n-1+C

2 n

2^n-2+…+C

n-1 n

2+1=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
∴①當n=2時，S₂-4×2-1=9-8-1=0，能被64整除；
②假設當n=2k（k≥1，k∈N^*）時，S_2k-4×2k-1=3^2k-8k-1能被64整除，即S_2k-4×2k-1=64f（k）（f（k）為整數），
則n=2k+2時，S_2k+2-4×（2k+2）-1=3^2k+2-4×（2k+2）-1=9（3^2k-8k-1）-64k，
顯然能被64整除，
由①②知，對任意n∈N^*，當n為偶數時，S_n-4n-1能被64整除．

點評：本題考查組合數公式的應用，著重考查數學歸納法的應用，考查推理、證明能力，屬于中檔題．