Question

12．從拋物線y²=16x上各點向x軸作垂線，其垂線段中點的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）若過點P（3，2）的直線l與軌跡E相交于A、B兩點，且點P是弦AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設出垂線段的中點為M（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點，把它們坐標之間的關系找出來，代入拋物線的方程即可；
（Ⅱ）利用點差法，求出直線的斜率，即可求出直線方程．

解答 解：（Ⅰ）設垂線段的中點M（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點，D（x₀，0），
因為M是PD的中點，所以x₀=x，y=$\frac{1}{2}$y₀，
有x₀=x，y₀=2y，
因為點P在拋物線上，所以y₀²=16x，即4y²=16x，
所以y²=4x，所求點M軌跡方程為：y²=4x．              …（5分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，y₁+y₂=4，
因為A、B兩點都在拋物線E上，則代入作差可得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1   …（10分）
∴直線l的方程為：x-y-1=0                      …（12分）

點評 本題主要考查求軌跡方程的方法，考查點差法的運用，利用拋物線的定義將到焦點的距離轉化為到準線的距離是關鍵，屬于中檔題．