Question

如圖，A，B，C是函數y=f(x)=log

1

2

x圖象上的三點，它們的橫坐標分別是t，t+2，t+4（t≥1）．
（1）設△ABC的面積為S，求S=g（t）；
（2）若函數S=g（t）＜f（m）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據三角形的面積公式求出△ABC的面積為S，即可求S=g（t）；
（2）若函數S=g（t）＜f（m）恒成立，轉化為求出函數g（t）的最大值，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）S=g(t)=

[-log 1 2 t-log 1 2 (t+2)]×2

2

+

-[log 1 2 (t+2)+log 1 2 (t+4)]×2

2

-

-[log 1 2 t+log 1 2 (t+4)]×4

2

=log2

(t+2)2

t(t+4)

=log2(1+

4

t2+4t

)．
（2）∵g（t）=log 2(1+

4

t2+4t

)在[1，+∞）單調遞減，
∴gmax(t)=g(1)=log2

9

5

，
若g（t）＜f（m）恒成立，
∴gmax(t)=log2

9

5

＜f(m)=log

1

2

m=log2

1

m

，
∴

1

m

＞

9

5

，∴0＜m＜

5

9

．

點評：本題主要考查不等式恒成立以及三角形的面積公式的計算，將不等式恒成立轉化為求函數的最值是解決本題的關鍵．