Question

8．若存在兩個正實數x，y使得等式3x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{3}{e}$]
• C． [$\frac{3}{e}$，+∞）
• D． （-∞，0）∪[$\frac{3}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意得-$\frac{3}{a}$=（$\frac{y}{x}$-2e）ln $\frac{y}{x}$=（t-2e）lnt，（t=$\frac{y}{x}$＞0），令m=（t-2e）lnt，（t＞0），利用導數性質能求出實數a的取值范圍．

解答 解：由題意得-$\frac{3}{a}$=（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=（t-2e）lnt，（t=$\frac{y}{x}$＞0），
令m=（t-2e）lnt，（t＞0），
則m′=lnt+$\frac{t-2e}{t}$，m''=$\frac{1}{t}$+$\frac{2e}{{t}^{2}}$＞0，
當x＞e時，m′＞m′（e）=0，
當0＜x＜e時，m′＜m′（e）=0，
∴m≥m（e）=-e，
∴-$\frac{3}{a}$≥-e，
解得a＜0或a≥$\frac{3}{e}$．
∴實數a的取值范圍是（-∞，0）∪[$\frac{3}{e}$，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質、構造法的合理運用．