Question

20．函數f（x）=-x（x-a）
（1）當a=2時，求函數f（x）單調區間；
（2）求函數f（x）在x∈[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，f（x）=-x（x-2）=-（x-1）²+1．即可得出函數f（x）的單調區間．
（2）函數$y=-{（x-\frac{a}{2}）^2}+\frac{a^2}{4}$圖象開口向下，對稱軸方程為$x=\frac{a}{2}$，對$\frac{a}{2}$與區間端點±1的大小關系分類討論即并且結合圖象可得出．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=-x（x-2）=-（x-1）²+1．
∴函數f（x）的單調增區間（-∞，1]，單調減區間[1，+∞）．
（2）函數$y=-{（x-\frac{a}{2}）^2}+\frac{a^2}{4}$圖象開口向下，對稱軸方程為$x=\frac{a}{2}$，
1：當$\frac{a}{2}＜-1$，即a＜-2時，由圖可知，當x=-1時，y_max=-a-1；
2：當$-1≤\frac{a}{2}≤1$，即-2≤a≤2時，由圖可知，當$x=\frac{a}{2}$時，${y_{max}}=\frac{a^2}{4}$；
3：當$\frac{a}{2}＞1$，即a＞2時，由圖可知，當x=1時，y_max=a-1；

故${y_{max}}=\left\{\begin{array}{l}-（a+1）\;，\;a＜-2\\ \frac{a^2}{4}\;，\;-2≤a≤2\\ a-1\;，\;a＞2\end{array}\right.$．

點評 本題考查了二次函數的圖象與性質、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．