Question

平面上兩條直線AB、CD相交于點O，且∠BOD=150⁰（如圖），現按如下要求規定此平面上點的“距離坐標”：

（1）點O的“距離坐標”為（0，0）；

（2）在直線CD上，且到直線AB的距離為p（p＞0）的點的“距離坐標”為（p，0）；在直線AB上，且到直線CD的距離為q（q＞0）的點的“距離坐標”為（0，q）；

（3）到直線AB、CD的距離分別為p、q（p＞0，q＞0）的點的“距離坐標”為（p，q）。

設M為此平面上的點，其“距離坐標”為（m，n），根據上述對點的“距離坐標”的規定，解決下列問題：

（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：

①滿足m=1且n=0的點的集合；

②滿足m=n的點的集合；

（2）若點M在過點O且與直線CD垂直的直線l上，求m與n所滿足的關系式。

（說明：圖中OI長為一個單位長）

 

Answer 1

【答案】

（1）①如圖1中，F₁，F₂即為所求；②如圖2中，兩條角平分線即為所求

（2）

【解析】解：（1）①如圖1中，F₁，F₂即為所求；

                 ②如圖2中，兩條角平分線即為所求。

（2）如圖3，過點M作MH⊥AB于點H。

 

 

則根據定義，MH=m，MO=n。

 ∵∠BOD=150⁰，∠DOM=90⁰（∵l⊥CD），

 ∴ ∠HOM=60⁰。

 在Rt△MHO中，，

 ∴ ，即，即

∴ m與n所滿足的關系式為。

（1）①以點I為圓心，OI為半徑畫圓交AB于點E；以點O為圓心，OE為半徑畫圓交CD于點F₁，F₂，則F₁，F₂即為所求。

由作法知，OF₁=2OI=2，由∠BOD=150⁰知∠EOF₁=30⁰，根據含30⁰角直角三角形中30⁰角所對邊是斜邊一半的性質，得點F₁到AB的距離m =1，同時點F₁在CD上，即n=0。同理，F₂的證明。

②分別作∠BOD和∠BOC的平分線，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，兩角平分線上的點滿足m=n，故兩條角平分線即為所求。

（2）由已知和銳角三角函數定義即可得出m與n所滿足的關系式。