Question

平面上兩條直線AB、CD相交于點O，且∠BOD=150⁰（如圖），現按如下要求規定此平面上點的“距離坐標”：

（1）點O的“距離坐標”為（0，0）；

（2）在直線CD上，且到直線AB的距離為p（p＞0）的點的“距離坐標”為（p，0）；在直線AB上，且到直線CD的距離為q（q＞0）的點的“距離坐標”為（0，q）；

（3）到直線AB、CD的距離分別為p、q（p＞0，q＞0）的點的“距離坐標”為（p，q）。

設M為此平面上的點，其“距離坐標”為（m，n），根據上述對點的“距離坐標”的規定，解決下列問題：

（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：

①滿足m=1且n=0的點的集合；

②滿足m=n的點的集合；

（2）若點M在過點O且與直線CD垂直的直線l上，求m與n所滿足的關系式。

（說明：圖中OI長為一個單位長）

Answer 1

解：（1）①如圖1中，F₁，F₂即為所求；

                 ②如圖2中，兩條角平分線即為所求。

            （2）如圖3，過點M作MH⊥AB于點H。則

                 根據定義，MH=m，MO=n。

                 ∵∠BOD=150⁰，∠DOM=90⁰（∵l⊥CD），

                 ∴ ∠HOM=60⁰。

                 在Rt△MHO中，，

                 ∴ ，即，即。

                 ∴ m與n所滿足的關系式為。