Question

13．間距為l的兩平行金屬導軌由水平部分和傾斜部分平滑連接而成，如圖 所示．傾角為θ的導軌處于大小為B₁方向垂直導軌平面向上的勻強磁場區間I中． 水平導軌上的無磁場區間靜止放置-質量為3m的“聯動雙桿”（由兩根長為l的金屬桿cd 和ef用長度為L的剛性絕緣桿連接構成），在“聯動雙桿”右側存在大小為B2、方向垂直導軌平面向上的勻強磁場區間II，其長度大于L．質量為m、長為l的金屬桿ab從傾斜導 軌上端釋放，達到勻速后進入水平導軌（無能量損失），桿以與“聯動雙桿”發生碰撞，碰后桿ab和cd合在一起形成“聯動三桿'．“聯動三桿”繼續沿水平導軌進人磁場區間II并從 中滑出．運動過程中，桿ab、cd和ef與導軌始終接觸良好，且保持與導軌垂直． 已知桿ab、cd和ef 電阻均為R=0.02Ω，m=0.1kg，l=0.5m，L=0.3m，θ=30°，B₁=0.1T，B₂=0.2T．不計摩擦阻力和導軌電阻，忽略磁場邊界效應．求

（1）桿ab在傾斜導軌上勻速運動時的速度v₀；
（2）“聯動三桿”進人磁場區間II前的速度大小v₁；
（3）“聯動三桿”滑過磁場區間II產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）ab桿在傾斜軌道上做勻速直線運動，由平衡條件可以求出其速度；
（2）ab桿與聯動雙桿碰撞過程系統動量守恒，應用動量守恒定律可以求出其速度；
（3）應用動量定理與能量守恒定律可以求出聯動三桿產生的焦耳熱．

解答 解：（1）ab桿受到的安培力：F=B₁Il=$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R+\frac{R}{2}}$，
ab桿勻速運動，由平衡條件得，重力沿導軌向下的分力與安排力相等，
即：mgsinθ=$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R+\frac{R}{2}}$，
解得：v₀=6m/s．
（2）ab桿與聯動雙桿碰撞過程系統動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：mv₀=（m+3m）v，
解得：v=1.5m/s．
（3）聯動三桿進入磁場B₂過程速度的變化量為△v，
由動量定理得：B₂$\overline{I}$l△t=4m△v，
$\overline{I}$△t=△q=$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R+\frac{R}{2}}$，
解得：△v=0.25m/s，
聯動三桿離開磁場過程，速度的變化量大小也為：△v=0.25m/s，
離開磁場B₂時聯動三桿的速度：v′=v-2△v=1.5-2×0.25=1m/s，
“聯動三桿”滑過磁場區間II產生的焦耳熱：Q=$\frac{1}{2}$•4mv²-$\frac{1}{2}$•4mv′²，
解得：Q=0.25J．
答：（1）桿ab在傾斜導軌上勻速運動時的速度大小v₀為6m/s；
（2）“聯動三桿”進入磁場區間II前的速度大小v為1.5m/s；
（3）“聯動三桿”滑過磁場區間II產生的焦耳熱Q為0.25J．

點評 本題是一道綜合題，分析清楚桿的運動過程是解題的前提與關鍵，應用安培力公式、平衡條件、動量守恒定律與能量守恒定律可以解題；解題時注意分析清楚電路結構，難度較大，解題時應細心、認真．