Question

14．如圖所示，電源兩端電壓保持不變，當開關S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到A端時，電阻R₂的電功率為P₂，電流表的示數為I₁；當開關S₁斷開、S₂閉合時，電阻R₂的電功率為P₂′，電流表的示數為I₂．已知I₁：I₂=2：3．
求：（1）電阻R₂的功率P₂與P₂′的比值；
（2）當開關S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P在C點時，變阻器接入電路的電阻為R_C，電壓表V₁的示數為U₁，電壓表V₂的示數為U₂，已知U₁：U₂=1：3，這時R₂的功率為20W，R_C的電功率為5W．則滑片P在A端與滑片P到C點時，變阻器連入電路電阻R_A與 R_C的比值；
（3）電路通過不同的變化，消耗的最大功率與最小功率之比．（請畫出相關電路狀態的等效電路圖）

Answer 1

分析 （1）當開關S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到A端時，R_A和R₂串聯，電流表測量的是整個電路中的電流I₁，當開關S₁斷開、S₂閉合時，R₁和R₂串聯，電流表測量的是整個電路中的電流I₂，已知I₁：I₂=2：3，根據P=UI=I²R求出電阻R₂的功率P₂與P₂′的比值；
（2）當開關S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P在C點時，R₁、R_C和R₂串聯，電壓表V₁測量的是R₁和R_C兩端的電壓，電壓表V₂測量的是R₂和R_C兩端的電壓，已知U₁：U₂=1：3，根據串聯電路的電流特點和歐姆定律表示出電壓表示數之比得出等式，根據P=I²R表示出R₂與R_C的電功率之比得出等式，在圖（1）和圖（2）中，根據電壓一定時電流與電阻成反比得出電阻關系，然后整理得出答案；
（3）因為電路兩端的總電壓保持不變，由公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可知，當電路中的電阻最小時，消耗的功率最大，當電路中的電阻最大時，消耗的功率最小．

解答 解：（1）當開關S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到A端時，等效電路圖如圖（1）所示；
當開關S₁斷開、S₂閉合時，等效電路圖如圖（2）所示：

因$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
所以，由P=I²R可得，電阻R₂的功率P₂與P₂′的比值：
$\frac{{P}_{2}}{{P}_{2}′}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{2}}{{{I}_{2}}^{2}{R}_{2}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}}{{{I}_{2}}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{{3}^{2}}$=$\frac{4}{9}$；
（2）當開關S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P移到C點時，等效電路圖如圖（3）所示：

因串聯電路中各處的電流相等，
所以，由I=$\frac{U}{R}$可得：
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{I}_{3}（{R}_{1}+{R}_{C}）}{{I}_{3}（{R}_{C}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{C}}{{R}_{C}+{R}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
整理可得：2R_C=R₂-3R₁------------①
由P=I²R可得：
$\frac{{P}_{2}″}{{P}_{C}}$=$\frac{{{I}_{3}}^{2}{R}_{2}}{{{I}_{3}}^{2}{R}_{C}}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{C}}$=$\frac{20W}{5W}$=$\frac{4}{1}$，
整理可得：R₂=4R_C----------------②
在圖（1）和圖（2）中，
因電源電壓一定時，電流與總電阻成反比，
所以，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{A}\;+{R}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
整理可得：2R_A=R₂+3R₁---------③
由①②③可得：3R₁=2R_C，R₂=4R_C，R_A=3R_C，
則$\frac{{R}_{A}}{{R}_{C}}$=$\frac{3}{1}$；
（3）當開關S₁、S₂都閉合時，只有R₂接入，等效電路圖如圖（4）所示，電路消耗的功率最大；
當開關S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P移到A端時，R₁、R₂、R_C串聯接入，等效電路圖如圖（5）所示，電路消耗的功率最小，

由P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，電路消耗的最大功率與最小功率之比：
$\frac{{P}_{最大}}{{P}_{最小}}$=$\frac{\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}}{\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}+{R}_{A}}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}+\;{R}_{A}}{{R}_{2}}$=$\frac{\frac{2}{3}{R}_{C}+{4R}_{C}+{3R}_{C}\;}{{4R}_{C}}$=$\frac{23}{12}$．
答：（1）電阻R₂的功率P₂與P₂'的比值為4：9．
（2）滑片P在A端與滑片P到C點時，變阻器連入電路電阻R_A與 R_C的比值位3：1；
（3）電路通過不同的變化，消耗的最大功率與最小功率之比位23：12．

點評 本題綜合性較強，考查的內容較多，可以根據開關的狀態判斷電路的連接情況，可以把復雜的電路進行簡化，并充分理解串聯分壓這一特點，會用電功率公式計算，本題難點是，要用到電功率的變形公式：P=I²R和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求解，需要注意的是：P=I²R和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$這兩個公式在電功率計算題里要經常用到．