Question

12．“奔跑吧，兄弟！”節目組，預設計一個新的游戲，“奔跑”需經A，B，C，D四點，如圖，其中A，B，C三地在同一直線上，D點在A地北偏東30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏東75°方向．
（1）求證：∠ACD=2∠NAD；
（2）求∠ADC的度數．

Answer 1

分析 （1）首先根據方向角的定義得出∠NAD=30°，∠N′CD=45°，∠NAC=75°．再由NA∥N′C，求出∠ACN′=180°-∠NAC=105°，那么∠ACD=∠ACN′-∠N′CD=105°-45°=60°，即∠ACD=2∠NAD；
（2）在△ACD中，先求出∠DAC=∠NAC-∠NAD=75°-30°=45°，再根據三角形內角和定理即可求解．

解答 （1）證明：由題意，可得∠NAD=30°，∠N′CD=45°，∠NAC=75°．
∵NA∥N′C，
∴∠NAC+∠ACN′=180°，
∴∠ACN′=180°-∠NAC=105°，
∴∠ACD=∠ACN′-∠N′CD=105°-45°=60°，
∴∠ACD=2∠NAD；

（2）解：在△ACD中，
∵∠DAC=∠NAC-∠NAD=75°-30°=45°，∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=180°-45°-60°=75°．

點評 本題考查了方向角，平行線的性質，三角形內角和定理，掌握方向角的定義，根據圖形得出∠NAD=30°，∠N′CD=45°，∠NAC=75°是解題的關鍵．