Question

定義：如圖，若雙曲線與它的其中一條對稱軸相交于兩點A，B，則線段AB的長稱為雙曲線的對徑．

（1）求雙曲線的對徑;
（2）若某雙曲線對徑是.求k的值;
（3）仿照上述定義,請你定義雙曲線的對徑.

Answer 1

（1）2；（2）25；（3）定義見解析.

試題分析：過A點作AC⊥x軸于C，（1）解方程組，可得到A點坐標為(1，1)，B點坐標為(－1，－1)，即OC＝AC＝1，由勾股定理可求AB，于是得到雙曲線的對徑；
（2）根據雙曲線的對徑的定義得到當雙曲線的對徑為，即AB＝，OA＝5，根據OA＝OC＝AC，則OC＝AC＝5，得到點A坐標為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線 (k＞0)即可得到k的值；（3）雙曲線 (k＜0)的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點，根據題目中的定義易得到雙曲線（k＜0)的對徑.
試題解析：如圖，過A點作AC⊥x軸于C，

（1）解方程組，得，∴A點坐標為(1，1)，B點坐標為(－1，－1).
∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝. ∴AB＝2OA＝2.
∴雙曲線的對徑是2.
（2）∵雙曲線的對徑為，即AB＝，OA＝5.
∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5. ∴點A坐標為(5，5).
把A(5，5)代入雙曲線 (k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值為25.
（3）若雙曲線 (k＜0)與它的其中一條對稱軸y＝－x相交于A、B兩點，則線段AB的長稱為雙曲線 (k＜0)的對徑.