Question

6．如圖，△ABC是⊙O的內接等腰直角三角形，∠ACB=90°，點D為⊙O上的一點，滿足BD=3，CD=4$\sqrt{2}$，連接AD，則AD的長為11．

Answer 1

分析 在AD上截取AE=BD=3，連接CE，由SAS證明△ACE≌△BCD，得出∠ACE=∠BCD，CE=CD，證出∠DCE=∠ACB=90°，得出△CDE是等腰直角三角形，由勾股定理得出DE=$\sqrt{2}$CD=8，即可得出AD的長．

解答 解：在AD上截取AE=BD=3，連接CE，如圖所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
由圓周角定理得：∠CAE=∠CBD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠CAE=∠CBD}&{\;}\\{AE=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD=8，
∴AD=AE+DE=3+8=11；
故答案為：11．

點評 本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．