Question

11．如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交AC邊于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若△ABC的邊長為4，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接DO，由△ABC是等邊三角形，得到∠A=∠C=60°，推出△OAD是等邊三角形，得到∠ADO=60°，得到∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，于是得到結(jié)論；
（2）由△OBE是等邊三角形，得到BE=BO=$\frac{1}{2}$BC=2，求得CE=CB-BE=2，解直角三角形得到DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\sqrt{3}$；連接OD，根據(jù)圖形的面積即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接DO，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF為⊙O的切線；

（2）解：∵△OBE是等邊三角形，
∴BE=BO=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴CE=CB-BE=2，
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\sqrt{3}$；
連接OD，同理可知CD=2，
∴CF=EF=1，
∴S_{直角梯形FEOD}=$\frac{1}{2}$（EF+OD）•DF=$\frac{1}{2}$×（1+2）×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_扇形OED=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_陰影=S_{直角梯形FEOD}-S_扇形OED=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定，等邊三角形的性質(zhì)，以及扇形面積求法，其中切線的判定方法為：有點(diǎn)連接證明垂直；無點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于半徑．