Question

6．如圖，△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且滿足b=$\sqrt{a-c}$+$\sqrt{c-a}$-2，
（1）BD⊥AC于D，交y軸于M，求M點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，交OC于N，若∠CAN=15°，求AN的長(zhǎng)；
（3）P為第一象限一點(diǎn)，PQ⊥PA交y軸于Q．在PQ上截取PE=PA，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，求∠OPF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先判定△AOC是等腰直角三角形，再判定△BOM是等腰直角三角形，根據(jù)OB=2，得出OM=2，即可得出M（0，2）；
（2）先求得∠BCO=∠OAN=30°，再判定△BOC≌△NOA（ASA），得到BC=NA，再根據(jù)Rt△BOC中，BC=2BO=4，即可得出AN=4；
（3）先連接OF，把△OCF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△OAD處，連接DP，由旋轉(zhuǎn)可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，再判定△PEF≌△PAD（SAS），得出PF=PD，∠FPE=∠DPA，進(jìn)而判定△OPF≌△OPD（SSS），即可∠OPF=∠OPD=$\frac{1}{2}$∠FPD=45°．

解答 解：（1）由題可得，a-c≥0，c-a≥0，
∴a=c，即OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAD=45°，
又∵BD⊥AC，
∴∠ABD=45°，
又∵∠BOM=90°，
∴△BOM是等腰直角三角形，
∴OB=OM，
∵b=$\sqrt{a-c}$+$\sqrt{c-a}$-2，且a=c，
∴b=-2，即OB=2，
∴OM=2，
∴M（0，2）；

（2）∵∠CAN=15°，∠OAC=45°，
∴∠OAN=30°，
∵AG⊥BC，CO⊥AO，∠ANO=∠CNG，
∴∠BCO=∠OAN=30°，
在△BOC和△NOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCO=∠OAN}\\{CO=AO}\\{∠COB=∠AON}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△NOA（ASA），
∴BC=NA，
又∵Rt△BOC中，BC=2BO=4，
∴AN=4；

（3）如圖3，連接OF，把△OCF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△OAD處，連接DP，
由旋轉(zhuǎn)可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，
∵∠AOQ+∠APQ=180°，
∴∠OAP+∠OQP=180°，
又∵∠EQC+∠OQP=180°，
∴∠OAP=∠EQC，
∴∠PEF=∠PAD，
在△PEF和△PAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=AD}\\{∠PEF=∠PAD}\\{PE=PA}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PAD（SAS），
∴PF=PD，∠FPE=∠DPA，
∴∠FPD=∠QPA=90°，
∵在△OPF和△OPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{OP=OP}\\{PF=PD}\end{array}\right.$，
∴△OPF≌△OPD（SSS），
∴∠OPF=∠OPD=$\frac{1}{2}$∠FPD=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及二次根式有意義的條件的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)相等，對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行計(jì)算求解．