Question

5．已知二次函數y═ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（-5，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．
（1）直接寫出頂點D、點C的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）若∠ADC=90°，試確定二次函數的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線y═ax²+bx+c（a＞0）與x軸的交點可得解析式為y=a（x+5）（x-1）=ax²+4ax-5a=a（x+2）²-9a，從而得出答案；
（2）由A、D、C的坐標得出AD²、CD²、AC²，根據∠ADC=90°知AD²+CD²=AC²，據此列出關于a的方程，解之可得a的值，從而得出答案．

解答 解：（1）∵二次函數y═ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（-5，0）、B（1，0）兩點，
∴拋物線的解析式為y=a（x+5）（x-1）=ax²+4ax-5a=a（x+2）²-9a，
則點D的坐標為（-2，-9a），點C的坐標為（0，-5a）；

（2）∵A（-5，0）、D（-2，-9a）、C（0，-5a），
∴AD²=（-2+5）²+（-9a-0）²=81a²+9，
CD²=（-2-0）²+（-9a+5a）²=16a²+4，
AC²=（0+5）²+（-5a-0）²=25a²+25，
∵∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，即81a²+9+16a²+4=25a²+25，
解得：a=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵a＞0，
∴a=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
則該二次函數的解析式為y=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2）²-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查待定系數法求二次函數解析式與拋物線與x的軸的交點問題、勾股定理逆定理，熟練掌握待定系數法求得二次函數解析式是解題的關鍵．