Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點D，交⊙O于點E，AE與BC交于點F，點H為OD延長線上一點，且∠OHB=∠AEC.

（1）求證：BH是⊙O的切線；

（2）求證：CE2=EF·EA；

（3）若⊙O的半徑為5，sin∠C=，求BF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）由圓周角定理和已知條件證出∠H=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBH=90°，即∠OBH=90°，即可得出BH是⊙O的切線；
（2）連接AC，由垂徑定理得出=,得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEF∽△AEC，得出對應邊成比例即可得出結論；
（3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數求出BE，再根據勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的結論求出EF，然后根據勾股定理求出BF即可．

(1)證明：∵∠OHB =∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠OHB=∠ABC，

∵OD⊥BC，

∴

∴

∴∠ABC+∠DBH=90°，

即

∴BH⊥OB，

∴BH是⊙O的切線；

(2)證明：連接AC,如圖1所示：

∵OD⊥BC，

∴=,

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠FEC，

∴△CEF∽△AEC，

∴

∴CE2=EF·EA；

(3)連接BE,如圖2所示：

∵AB是O的直徑，

∴

∵⊙O的半徑為5,sin∠BAE

∴AB=10,BE=ABsin∠BAE

∴

∵=,

∴BE=CE=6，

∵CE2=EF·EA；

∴

在Rt△BEF中,