Question

【題目】如圖，平行四邊形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，連接 BD，將△BCD 繞點 B 旋轉，當 BD（即 BD′）與 AD 交于一點 E，BC（即 BC′）同時與 CD 交于一點 F 時，下列結論正確的是（ ）

①AE=DF；②∠BEF=60°；③∠DEB=∠DFB；④△DEF 的周長的最小值是4+2

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意可證△ABE≌△BDF，可判斷①②③，由△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，則當EF最小時△DEF的周長最小，根據垂線段最短，可得BE⊥AD時，BE最小，即EF最小，即可求此時△BDE周長最小值．

∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，

∴△ABD，△BCD為等邊三角形，∴∠A=∠BDC=60°．

∵將△BCD繞點B旋轉到△BC'D'位置，

∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，

∴△ABE≌△BFD，

∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，

∴∠BED+∠BFD=180°．

故①正確，③錯誤；

∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，

∴∠EBF=60°．

故②正確；

∵△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，

∴當EF最小時．∵△DEF的周長最小．

∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等邊三角形，

∴EF=BE，

∴當BE⊥AD時，BE長度最小，即EF長度最小．

∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，

∴EB=2，

∴△DEF的周長最小值為4+2．

故④正確．

故選C．