Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=36°，點D在線段BC上運動(點D不與點B、C重合)，連接AD，作∠ADE=36°，DE交線段AC于點E．

（1）當∠BDA=128°時，∠EDC=　　　　，∠AED=　　　　；

（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE？請說明理由；

（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）16°；52°；（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，理由見解析；（3）當∠BDA的度數為108°或72°時，△ADE的形狀是等腰三角形．

【解析】

（1）根據三角形內角和定理和等腰三角形的性質，得到答案；

（2）當DC＝2時，利用∠DEC+∠EDC＝144°，∠ADB+∠EDC＝144°，得到∠ADB＝∠DEC，根據AB＝DC＝2，證明△ABD≌△DCE；

（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三種情況，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算．

（1）∵AB=AC，∴∠C=∠B=36°．

∵∠ADE=36°，∠BDA=128°．

∵∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=16°，

∴∠AED=∠EDC+∠C=16°+36°=52°．

故答案為：16°；52°；

（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，

理由：∵AB=2，DC=2，

∴AB=DC．

∵∠C=36°，

∴∠DEC+∠EDC=144°．

∵∠ADE=36°，

∴∠ADB+∠EDC=144°，

∴∠ADB=∠DEC，

在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE(AAS)；

（3）當∠BDA的度數為108°或72°時，△ADE的形狀是等腰三角形，

①當DA=DE時，∠DAE=∠DEA=72°，

∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=108°；

②當AD=AE時，∠AED=∠ADE=36°，

∴∠DAE=108°，

此時，點D與點B重合，不合題意；

③當EA=ED時，∠EAD=∠ADE=36°，

∴∠BDA=∠EAD+∠C=36°+36°=72°；

綜上所述：當∠BDA的度數為108°或72°時，△ADE的形狀是等腰三角形．