Question

如圖，AB為⊙O的直徑，射線AP交⊙O于C點，∠PCO的平分線交⊙O于D點，過點D作交AP于E點．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若DE=3，AC=8，求直徑AB的長．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）10.

【解析】

試題分析：（1）連接OD若要證明DE為⊙O的切線，只要證明∠DOE=90°即可；

（2）過點O作OF⊥AP于F，利用垂徑定理以及勾股定理計算即可．

試題解析：連接OD．

∵OC=OD，

∴∠1=∠3．

∵CD平分∠PCO，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∵DE⊥AP，

∴∠2+∠EDC=90°．

∴∠3+∠EDC=90°．

即∠ODE=90°．

∴OD⊥DE．

∴DE為⊙O的切線．

（2）過點O作OF⊥AP于F．

由垂徑定理得，AF=CF．

∵AC=8，

∴AF=4．

∵OD⊥DE，DE⊥AP，

∴四邊形ODEF為矩形．

∴OF=DE．

∵DE=3，

∴OF=3．

在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25．

∴OA=5．

∴AB=2OA=10．

考點：1.切線的判定；2.勾股定理；3.垂徑定理．