Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸交于A、B兩點，AC是⊙M的直徑，過點C的直線交x軸于點D，連接BC，已知點M的坐標為（0，），直線CD的函數(shù)解析式為y=－x＋5．

（1）求點D的坐標和BC的長；

（2）求點C的坐標和⊙M的半徑；

（3）求證：CD是⊙M的切線．

 

Answer 1

（1）D（5，0）；2．（2）2; （3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）因為點M的坐標為（0，），直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5，D在x軸上，可求出OM=，D（5，0），又因過圓心M的直徑⊥AB，AC是直徑，利用垂徑定理可得OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，利用三角形的中位線可得OM=BC，BC=2；

（2）因為BC=2，所以可設C（x，2），利用直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5．可得到y(tǒng)=-x+5=2，即求出C（3，2），利用勾股定理可得AC==4，即⊙M的半徑為2；

（3）求出BD=5-3=2，BC=2，CD==4，AC=4，AD=8，CD=4，，可得△ACD∽△CBD，所以∠CBD=∠ACD=90°，CD是⊙M的切線．

試題解析：（1）【解析】
∵點M的坐標為（0，），直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5，D在x軸上，

∴OM=，D（5，0）；

∵過圓心M的直徑⊥AB，AC是直徑，

∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，

∴OM=BC，

∴BC=2．

（2）【解析】
∵BC=2，

∴設C（x，2）；

∵直線CD的函數(shù)解析式為y=-x+5，

∴y=-x+5=2，

∴x=3，即C（3，2），

∵CB⊥x軸，OB=3，

∴AO=3，AB=6，AC==4，

即⊙M的半徑為2．

（3）證明：∵BD=5-3=2，BC=2，CD==4，

AC=4，AD=8，CD=4，

∴，

∴△ACD∽△CBD，

∴∠CBD=∠ACD=90°；

∵AC是直徑，

∴CD是⊙M的切線．

考點：一次函數(shù)綜合題．