Question

已知如圖，四邊形ABOC為矩形，AB=4，AC=6，一次函數經過B點與反比例函數交于D點，與x軸交于E點，且D為AC的中點．
①求點D和點E的坐標；
②求一次函數和反比例函數的解析式；
③在x軸上是否存在點P，使△PBD的周長最小？若存在，求出點P的坐標和△PBD的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①根據D為AC的中點且AC=6求得CD=3，根據AB=OC=4，從而得到點D的坐標，然后根據全等三角形求得CE=AB=4，從而得到OE=8，進而得到點E的坐標；
②利用待定系數法分別根據求得的點的坐標求得一次函數與反比例函數的解析式即可；
③因BD長度固定，要使△PBD周長最小，只需PB+PD最小．作D關于x軸的對稱點D′，連接BD′，交x軸于P點，根據對稱性及兩點之間線段最短說明存在P點．
解答：解：①∵AC=6，D為AC的中點，
∴CD=3，
∵AB=OC=4，
∴點D的坐標為（4，3），
在△ABD與△ECD中，
∵
∴△ABD≌△ECD
∴CE=AB=4，
∴點E的坐標為（8，0），
②∵OB=AC=6，
∴點B的坐標為（0，6）
設一次函數的解析式為y=k₁x+b，
∵經過點B和點E，
∴
解得：
∴一次函數的解析式為y=-x+6
設反比例函數的解析式為y=
∵經過點D（4，3）
∴k₂=3×4=12
∴反比例函數的解析式為y=；
③△PBD中，BD恒等于10，要使△PBD周長最小，即要使BP+PD最小．
如圖，作D關于x軸對稱點D′，連BD′交x軸于點P，連PD，此時，△PBD周長最小．
∵D（4，3），
∴D'（4，-3），
∴AB=4，AD′=9
∴由勾股定理得BD′==，
∵AD′∥BO
∴△OBP∽△CD′P
∴=
即：
∵OC=4，
∴PO=OC=
∴點P的坐標為（，0）．
此時△PBD的周長為BD+BD′=5+．
點評：本題考查了反比例函數的綜合應用，坐標系內求點的坐標、利用作圖求最小值等知識點，綜合性很強，利用軸對稱得出△PDB周長最小時P的位置是解題關鍵．