Question

23、已知如圖平行四邊形ABCD，分別以AB，BC為邊作等邊△EAB與等邊△FBC，連接EF，DF與DE，猜想△DEF的形狀并加以證明．

Answer 1

分析：根據等邊三角形的性質和平行四邊形的性質可以發現△ADE≌△CFD≌△BFE，根據全等三角形的對應邊相等就可證明DE=CF=EF．

解答：解：△DEF是等邊三角形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD．
∵△EAB與△FBC都是等邊三角形，
∴AB=AE=BE，BF=CF=BC，∠BAE=∠BCF=60°．
∴AD=CF，∠EAD=∠DCF，AE=CD．
∴△ADE≌△CFD（SAS）；
又∵CD=AB（平行四邊形的對邊相等），
∴BE=CD（等量代換），
∴△CFD≌△BFE（SSS），
∵△ADE≌△CFD≌△BFE，
∴△CFD≌△BFE，
可得DE=CF=EF．
∴△DEF是等邊三角形．

點評：此題綜合運用了平行四邊形的性質和等邊三角形的性質．