Question

已知如圖，四邊形ABOC為矩形，AB=4，AC=6，一次函數(shù)經(jīng)過B點與反比例函數(shù)交于D點，與x軸交于E點，且D為AC的中點．
①求點D和點E的坐標；
②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
③在x軸上是否存在點P，使△PBD的周長最小？若存在，求出點P的坐標和△PBD的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①根據(jù)D為AC的中點且AC=6求得CD=3，根據(jù)AB=OC=4，從而得到點D的坐標，然后根據(jù)全等三角形求得CE=AB=4，從而得到OE=8，進而得到點E的坐標；
②利用待定系數(shù)法分別根據(jù)求得的點的坐標求得一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可；
③因BD長度固定，要使△PBD周長最小，只需PB+PD最小．作D關(guān)于x軸的對稱點D′，連接BD′，交x軸于P點，根據(jù)對稱性及兩點之間線段最短說明存在P點．

解答：解：①∵AC=6，D為AC的中點，
∴CD=3，
∵AB=OC=4，
∴點D的坐標為（4，3），
在△ABD與△ECD中，

∠A=∠DCE AD=CD ∠BDA=∠EDA

，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴CE=AB=4，
∴點E的坐標為（8，0），
②∵OB=AC=6，
∴點B的坐標為（0，6）
設一次函數(shù)的解析式為y=k₁x+b，
∵經(jīng)過點B和點E，
∴

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x+6，
設反比例函數(shù)的解析式為y=

k2

x

，
∵經(jīng)過點D（4，3），
∴k₂=3×4=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

；
③△PBD中，BD恒等于10，要使△PBD周長最小，即要使BP+PD最小．
如圖，作D關(guān)于x軸對稱點D′，連BD′交x軸于點P，連PD，此時，△PBD周長最小．
∵D（4，3），
∴D'（4，-3），
∴AB=4，AD′=9，
∴由勾股定理得BD′=

42+92

=

97

，
∵AD′∥BO，
∴△OBP∽△CD′P，
∴

PO

PC

=

PB

PD′

=

CD′

BO

，
即：

PO

PC

=

2

1

，
∵OC=4，
∴PO=

2

3

OC=

8

3

，
∴點P的坐標為（

8

3

，0）．
此時△PBD的周長為BD+BD′=5+

97

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應用，坐標系內(nèi)求點的坐標、利用作圖求最小值等知識點，綜合性很強，利用軸對稱得出△PDB周長最小時P的位置是解題關(guān)鍵．