Question

18．如圖正方形ABCD的邊長為4，點E是AB上的一點，將△BCE沿CE折疊至△FCE，若CF，CE恰好與以正方形ABCD的中心為圓心的⊙O相切，則折痕CE的長為（　　）

• A． $\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{2}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接OC，由O為正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又CF與CE為圓O的切線，根據切線長定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF=∠BCE，由折疊可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的內角為直角，可得出∠ECB為30°，在直角三角形BCE中，設BE=x，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到EC=2x，再由正方形的邊長為4，得到BC為4，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到EC的長．

解答 解：連接OC，

∵O為正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF與CE都為圓O的切線，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿著CE折疊至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
在Rt△BCE中，設BE=x，則CE=2x，又BC=4，
根據勾股定理得：CE²=BC²+BE²，即4x²=x²+4²，
解得：x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴CE=2x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故選A．

點評 本題主要考查了切線的性質，涉及正方形的性質、勾股定理、切線長定理以及折疊的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．