Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D是AC的中點，⊙O經過B，C，D三點，與AB交于另一點E．
（1）請你仔細觀察圖形，連接圖中已表明字母的某兩點，得到一條新線段，證明它與線段AE相等；
（2）在圖中，過點E作⊙O的切線，交AD于點F；
①求證：EF²=FD•FC；
②若AF=DF，求sinA的值．

Answer 1

（1）連接CE；
證明：連接DE；
∵∠ABC=90°，
∴CE是⊙O的直徑；
∴∠CDE=90°；
又∵AD=CD，
∴AE=CE．
（還可以連接OD，利用中位線定理證AE等于⊙O的直徑，或連接BD，利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證AD=BD，∠A=∠DBA，∠DBA=∠ACE）

（2）①證明：∵EF是⊙O的切線，
∴EF⊥EC；
∴△CEF∽△EDF；
∴

EF

FD

=

FC

EF

，即EF²=FD•FC．

②∵AF=DF，AD=CD，
∴FD=

1

3

FC，∴EF²=

1

3

FC²；
∴

EF

FC

=

3

3

，
∴sin∠ACE=

3

3

；
又∵EA=EC，
∴∠ACE=∠A；
∴sin∠A=

3

3

．