Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，∠DAC=60°，把該矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α度得矩形AB′C′D′，點C′落在AB的延長線上，則圖中陰影部分的面積是$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，進而求出S_△AB′C′，S_扇形BAB′，即可得出陰影部分面積．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，∠DAC=60°，
∴DC=$\sqrt{3}$，AD=1．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：D′C′=$\sqrt{3}$，AD′=1，
∴tan∠D′AC′=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴∠D′AC′=60°．
∴∠BAB′=30°，
∴S_△AB′C′=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_扇形BAB′=$\frac{30π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$．
S_陰影=S_△AB′C′-S_扇形BAB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{4}$．

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形面積公式等知識，得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．