Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E是BC邊的中點，點P在線段AD上，過P作PF⊥AE于F，設PA=x．

（1）求證：△PFA∽△ABE；

（2）當點P在線段AD上運動時，是否存在實數x，使得以點P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由；

（3）探究：當以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點時，請直接寫出DP滿足的條件：　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，滿足條件的x的值為6或；（3）DP=或10＜DP≤12

【解析】

（1）根據矩形的性質，結合已知條件可以證明兩個角對應相等，從而證明三角形相似；

（2）由于對應關系不確定，所以應針對不同的對應關系分情況考慮：①當∠PEF=∠EAB時，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值；②當∠PEF=∠AEB時，再結合（1）中的結論，得到等腰△APE．再根據等腰三角形的三線合一得到F是AE的中點，運用勾股定理和相似三角形的性質進行求解．

（3）首先計算圓D與線段相切時，x的值，在畫出圓D過E時，半徑r的值，確定x的值，半徑比這時大時符合題意，根據圖形確定x的取值范圍,從而得出DP的范圍．

（1）證明：∵矩形ABCD，

∴∠ABE=90°，AD∥BC，

∴∠PAF=∠AEB，

又∵PF⊥AE，

∴∠PFA=90°=∠ABE，

∴△PFA∽△ABE．

（2）解：分二種情況：

①若△EFP∽△ABE，如圖1，

則∠PEF=∠EAB，

∴PE∥AB，

∴四邊形ABEP為矩形，

∴PA=EB=6，即x=6．

②如圖2，若△PFE∽△ABE，

則∠PEF=∠AEB，

∵AD∥BC

∴∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF．

∴PE=PA．

∵PF⊥AE，

∴點F為AE的中點，

Rt△ABE中，AB=8，BE=6，

∴AE===10，

∴EF=，

∵△PFE∽△ABE，

∴，

∴，

∴PE=，

∴滿足條件的x的值為6或．

（3）如圖3，當⊙D與AE相切時，設切點為G，連接DG，

∵AP=x，

∴PD═DG=12﹣x，

∵∠DAG=∠AEB，∠AGD=∠B=90°，

∴△AGD∽△EBA，

∴，

∴，

∴x=，

∴，

當⊙D過點E時，如圖4，⊙D與線段有兩個公共點，連接DE，

此時PD=DE=10，

故答案為：DP=或10＜DP≤12．