Question

18．如圖所示，在矩形ABCD中，E是BC上一點，AF⊥DE于點F．
（1）求證：DF•CD=AF•CE．
（2）若AF=4DF，CD=12，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據四邊形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根據相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（2）由（1）可知DF：AF=CE：DC，再結合已知條件即可求出CE的長．

解答 （1）證明：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADF+∠CDE=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠DAF+∠FDA=90°，
∴∠FAD=∠CDE，
又∵∠C=∠AFD=90°，
∴△ADF∽△DCE；
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{AF}{DC}$，
即DF•CD=AF•CE；
（2）∵△ADF∽△DCE；
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{AF}{DC}$，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{CE}{DC}$，
又∵AF=4DF，CD=12，
∴$\frac{DF}{4DF}=\frac{CE}{12}$，
∴CE=3．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質以及垂直的性質和矩形的性質運用，能根據題意得出△ADF∽△DCE是解答此題的關鍵．