Question

5．已知：二次函數(shù)y=x²+2x-3與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．連接AD、CD，過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)C作直線AC．
（1）求點(diǎn)B、D的坐標(biāo)及直線AC的解析式；
（2）若點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AC上一點(diǎn)，且E、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是2，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠APB=∠ADC？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求得A、B的坐標(biāo)，令x=0，即可求得C的坐標(biāo)，把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；
（2）把y=2分別代入y=x²+2x-3和y=-x-3求得E、F的坐標(biāo)，即可求得EF的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)A、C、D的坐標(biāo)求得AD²=20，AC²=18，CD²=2，得出AD²=AC²+CD²，證得△ADC為直角三角形，∠ACD=90°，根據(jù)tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$=3，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{1}$=3，得出∠ADC=∠ABC，因?yàn)樵趻佄锞�上不存在P，使得∠APB=∠ABC，故該拋物線上不存在點(diǎn)P，使得∠APB=∠ADC．

解答 解：（1）令y=0，則x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3），
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x-3；
（2）把y=2代入y=x²+2x-3得，2=x²+2x-3，解得x=-1+$\sqrt{6}$或-1-$\sqrt{6}$，
∴E的坐標(biāo)為（-1+$\sqrt{6}$，2）或（-1-$\sqrt{6}$，2），
把y=2代入y=-x-3得，2=-x-3，解得x=-5，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，2），
∴EF=-1+$\sqrt{6}$+5=4+$\sqrt{6}$，或EF=-1-$\sqrt{6}$+5=4-$\sqrt{6}$，
故EF的長(zhǎng)為4+$\sqrt{6}$或4-$\sqrt{6}$；
（3）不存在這樣的點(diǎn)，使得∠APB=∠ADC，
 理由：∵A（-3，0），C（0，-3），D（-1，-4），B（1，0），
∴AD²=（-3+1）²+4²=20，AC²=（-3）²+3²=18，CD²=1²+（-3+4）²=2，
∴AD²=AC²+CD²，
∴△ADC為直角三角形，∠ACD=90°，
∴tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$=3，
在△OCB中：tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{1}$=3，
∴∠ADC=∠ABC，
∵在拋物線上不存在P，使得∠APB=∠ABC，
∴該拋物線上不存在點(diǎn)P，使得∠APB=∠ADC．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，直角三角形的判定以及解直角三角形等，（3）求得∠ADC=∠ABC是解題的關(guān)鍵．