Question

2．已知二次函數y=ax²-3ax-4a的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸正半軸交于點C（如圖1），$tan∠ACO=\frac{1}{2}$．

（1）求此二次函數的解析式；
（2）P（-3，0）為x軸上一點，在拋物線第一象限的圖象上是否存在一點Q，連PQ交AC于點D，使得∠PDA=45°？（如圖2）若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）將拋物線作適當平移，使新拋物線的頂點D在射線AC上，且新拋物線與直線BC交于點M、N，（如圖3）問是否存在這樣的拋物線，使得$\frac{{{S_{△DMC}}}}{{{S_{△DNC}}}}=\frac{1}{4}$？若存在，請求新拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出點A、B坐標，再由tan∠ACO=$\frac{1}{2}$求出點C坐標即可求出a．
（2）構造等腰直角三角形△PEF，由AC∥EF得到∠PDA=∠PEF=45°，即可解決問題．
（3）可以設M、N的橫坐標分別為-t，4t，由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}（x-m）^{2}+2m+2}\end{array}\right.$消去y得到：x²-（2m+1）x+m²-4m=0，再利用根與系數的關系求出m．

解答 解：（1）令y=O得ax²-3ax-4a=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
∵tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴CO=2，
∴-4a=2，
a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）存在．理由如下：
在圖1中，取點E（0，1），F（-2，-3），作直線PE交AC于D，交拋物線于Q，作FH⊥PO垂足為H．
在△POE和△FHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PO=HF}\\{∠POE=∠PHF}\\{EO=PH}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△FHP，
∴PE=PF，∠EPO=∠PFH，
∵∠PFH+∠FPH=90°，
∴∠EPO+∠FPH=90°，
∴∠EPF=90°，∠PEF=∠PF=45°，
設直線EF的解析式為y=kx+b，E、F的坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線EF為y=2x+1，
設直線AC為y=k′x+b′，A、C的坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{b′=2}\\{-k′+b′=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k′=2}\\{b′=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC為y=2x+2，
∴AC∥EF，
∴∠PDA=∠PEF=45°，
∴直線PQ滿足條件，設直線PQ為y=k″x+b″，P、E坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{b″=1}\\{-3k″+b″=0}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{k″=\frac{1}{3}}\\{b″=1}\end{array}\right.$，
∴直線PQ為y=$\frac{1}{3}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+1}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{7}{9}}\end{array}\right.$，
∴點Q（3，2）．
（3）存在．理由如下：
∵拋物線的頂點在直線AC上，
∴可以設新拋物線為y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+2m+2，
∵$\frac{{S}_{△DMC}}{{S}_{△DNC}}=\frac{1}{4}$，可以設M、N的橫坐標分別為-t，4t，
易知直線BC為y=-$\frac{1}{2}x$+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}（x-m）^{2}+2m+2}\end{array}\right.$消去y得到：x²-（2m+1）x+m²-4m=0，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{-t+4t=2m+1}\\{-t•4t={m}^{2}-4m}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{5}$．
∴新拋物線為y=-$\frac{1}{2}（x-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{14}{5}$．

點評 本題考查二次函數的圖象問題、全等三角形的判定和性質、根與系數關系等知識，構造等腰直角三角形創造45°是解題的關鍵，本題綜合性強，需要靈活運用方程與函數的關系解決問題．