Question

9．如圖①，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD，CD．
（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；（不用證明）
（2）如圖②，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；
（3）如圖③，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．
①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②你能求出BD與AC所夾的銳角的度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出這個銳角的度數(shù)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可以證明△BDE≌△ACE推出BD=AC，BD⊥AC．
（2）如圖2中，不發(fā)生變化．只要證明△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，由∠DEC=90°，推出∠ACE+∠EOC=90°，因為∠EOC=∠DOF，所以∠BDE+∠DOF=90°，可得∠DFO=180°-90°=90°，即可證明．
（3）①如圖3中，結(jié)論：BD=AC，只要證明△BED≌△AEC即可．
②能；由△BED≌△AEC可知，∠BDE=∠ACE，推出∠DFC=180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）=180°-（60°+60°）=60°即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：BD=AC，BD⊥AC．
理由：延長BD交AC于F．

∵AE⊥CB
∴∠AEC=∠BED=90°．
在△AEC和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠AEC=∠BED}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BED，
∴AC=BD，∠CAE=∠EBD，
∵∠AEC=90°，
∴∠C+∠CAE=90°，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠BFC=90°，
∴AC⊥BD．

（2）如圖2中，不發(fā)生變化，設(shè)DE與AC交于點O，BD與AC交于點F．

理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，
∵∠DEC=90°，
∴∠ACE+∠EOC=90°，
∵∠EOC=∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF=90°，
∴∠DFO=180°-90°=90°，
∴BD⊥AC；

（3）①如圖3中，結(jié)論：BD=AC，

理由是：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，
∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC．

②能；設(shè)BD與AC交于點F，由△BED≌△AEC可知，∠BDE=∠ACE，
∴∠DFC=180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）=180°-（60°+60°）=60°，
即BD與AC所成的銳角的度數(shù)為60°．

點評 本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會利用“8字型”證明角相等，屬于中考壓軸題．