Question

11．如圖，AB是⊙O的弦，AB=7$\sqrt{2}$，點C是⊙O上的一動點，且∠ACB=45°．若點M，N分別是AB，BC的中點，則MN長的最大值是7．

Answer 1

分析 根據(jù)中位線定理得到MN的最大時，AC最大，當AC最大時是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

解答 解：∵點M，N分別是AB，BC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴當AC取得最大值時，MN就取得最大值，
當AC時直徑時，最大，如圖所示，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=7$\sqrt{2}$，∠ABD=90°，
∴AD=$\sqrt{2}$AB=14，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=7，
故答案為：7．

點評 本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質及圓周角定理，解題的關鍵是了解當什么時候MN的值最大，難度不大．