Question

【題目】關于x的二次函數y1＝x2+kx+k﹣1（k為常數）

（1）對任意實數k，函數圖象與x軸都有交點

（2）若當x≥75時，函數y的值都隨x的增大而增大，求滿足條件的最小整數k的值

（3）K取不同的值時，函數拋物線的頂點位置也會變化，但會在某一函數圖象上，求該函數圖象的解析式

（4）若當自變量x滿足0≤x≤3時，與其對應的函數值y的最小值為10，求此時k的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）﹣150；（3）y＝﹣x2﹣2x﹣1；（4）11．

【解析】

（1）計算△，根據△的值進行判斷；

（2）根據二次函數的增減性即可判斷；

（3）得到拋物線的頂點，寫成方程組，消去k得y=-x2-2x-1，即可判斷；

（4）函數配方后得y=x2+kx+k-1=，根據對稱軸的位置分三種情況進行討論可得結論.

解：（1）∵△＝k2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，

∴對任意實數k，函數圖象與x軸都有交點；

（2）∵a＝1＞0，拋物線的對稱軸x，

∴在對稱軸的右側函數y的值都隨x的增大而增大，

即當x時，函數y的值都隨x的增大而增大，

∵x≥75時，函數y的值都隨x的增大而增大，

∴75，k≥﹣150，

∴k的最小整數是﹣150，

∴滿足條件的最小整數k的值是﹣150；

（3）∵y＝x2+kx+k﹣1＝（x）2k﹣1，

∴拋物線的頂點為（，k﹣1），

∴，

消去k得，y＝﹣x2﹣2x﹣1，

由此可見，不論k取任何實數，拋物線的頂點都滿足函數y＝﹣x2﹣2x﹣1，

即拋物線的頂點在二次函數y＝﹣x2﹣2x﹣1的圖象上；

（4）∵y＝x2+kx+k﹣1＝（x）2k﹣1，

∴拋物線的頂點為（，k﹣1），

又∵0≤x≤3時，與其對應的函數值y的最小值為10，

①當0時，即k≤0，

此時x＝0時，y取得最小值是10，

則有10＝k﹣1，

k＝11．

②當3時，即k≤﹣6，

此時x＝3時，y取得最小值是10，

則有10＝32+3k+k﹣1，

k，不符合題意；

③當03時，即﹣6＜k＜0，

此時x時，y取得最小值是10，

即k﹣1＝10，

此方程無實根，

綜上所述，k的值是11．