Question

【題目】在△ABC中,AB＝BC＝,∠ABC＝120°,△CDE為等邊三角形,CD＝2,連接AD,M為AD中點

(1)如圖1,當B、C、E三點共線時,證明: BM⊥ME

(2)如圖2,當A、C、E三點共線時,求BM的長

(3)如圖3,取BE中點N,連MN.將△CDE繞點C旋轉,直接寫出旋轉過程中線段MN的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先作出圖形，進而證明△AMF≌△DME，即可得出結論；

（2）同（1）的方法證出△AMF≌△DMF，利用四邊形的內角和定理以及平角的定義得出∠BCE=∠BAF即可得出∠BME=90°，最后利用勾股定理即可得出結論；

（2）同（2）的方法得出∠BME=90°，進而得出BE=2MN，最后利用三角形的三邊關系即可得出結論.

（1）證明：如圖1，延長BA，EM交于點F，即：△FAM即為所求，

∵△CDE是等邊三角形

∴CD=CE=DE，∠CED=60°

∵∠ABC=120°

∴∠ABC+∠CED=180°

∵B、C、E三點共線

∴AB∥DE

∴∠F=∠DEM

∵點M是AD中點

∴AM=DM

又∵∠FMA=∠EMD

∴△AMF≌△DME

∴AF=DE=CE，FM=ME

∵AB=BC

∴BF=BE

∴BM⊥ME

（2）證明：如圖2，延長EM到點F，使MF=ME，連接BF，AF，，BE，

∵AM=DM，∠FMA=∠DME

∴△AMF≌△DMF

∴AF=DE=CE，∠FAD=ADE

在四邊形BADE中

∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°

∵∠ABC=120°，∠CED=60°

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°

∴∠BCE=∠BAD+∠ADE

∴∠BCE=∠BAF

∵AB=BC

∴△AFB≌△CEB

∴BF=BE，∠ABF=∠CBE

∴∠FBE=∠ABC=120°，∠BEF=30°

∴∠BME=90°，BE=2BM

在△ABC中

AB=AC=,∠ABC=120°

∴∠BAC=30°

過點B作BG⊥AC于點G

∴BG=，CG=AG=3

∴EG=CG+CE=3+2=5

在Rt△BCE中，根據勾股定理得

∴

（3）如圖3，延長EM到點F，使MF=ME，連接BF，AF，BM

∵AM=DM，∠FMA=∠DME

∴△AMF≌△DMF

∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE

在四邊形BADE中，

∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°

∵∠ABC=120°，∠CED=60°

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°

∴∠BCE=∠BAD+∠ADE

∴∠BCE=∠BAF

∵AB=BC

∴△AFB≌△CEB

∴BF=BE，∠ABF=∠CBE

∴∠FBE=∠ABC=120°，∠BEF=30°

∴∠BME=90°

∵點N是BE的中點

∴MN=BE

即：BE=2MN

在△BCE中，BC=，CE=CD=2

∴

∴

∴

故答案為：