Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是△ABC內一點，連結AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉一定角度得到線段AE使∠BAD=∠CAE（E在AC右側），連結BD，CE．
（1）求證：BD=CE；
（2）若AD=2，求點D繞點A旋轉到點E所經過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAE可得∠BAC=∠DAE=90°，再根據旋轉的性質，由線段AD繞點A逆時針旋轉一定角度得到線段AE得到AD=AE，加上AB=AC，則根據旋轉的定義可將△ABD繞點A逆時針旋轉90度得到△ACE，于是根據旋轉的性質可得BD=CE；
（2）點D繞點A旋轉到點E所經過的路徑為以A點為圓心，AD為半徑，圓心角為90的弧，然后根據弧長公式計算即可．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，即∠BAC=∠DAE=90°，
∵線段AD繞點A逆時針旋轉一定角度得到線段AE，
∴AD=AE，
而AB=AC，
∴△ABD繞點A逆時針旋轉90度可得到△ACE，
∴BD=CE；
（2）解：點D經過的路徑長=$\frac{90•π•2}{180}$=π．
所以點D繞點A旋轉到點E所經過的路徑長為π．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．