Question

1．某服裝店銷售一種內衣，每件進價為40元．經過市場調查，一周的銷售量y件與銷售單價x元/件的關系如表：

銷售單價x（元/件）	…	55	60	70	75	…
一周的銷售量y（件）	…	450	400	300	250	…

（1）試求出y與x的之間的函數關系式；
（2）設一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數關系式，并確定當銷售單價的什么范圍內變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？
（3）服裝店決定將一周的銷售內衣的利潤全部捐給福利院，在服裝店購進該內衣的貸款不超過8000元情況下，請求出該服裝店最大捐款數額是多少元？

Answer 1

分析 （1）設y=kx+b，把點的坐標代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數解析式；
（2）根據利潤=（售價-進價）×銷售量，列出函數關系式，繼而確定銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大的銷售單價的范圍；
（3）根據購進該商品的貸款不超過8000元，求出進貨量，然后求最大銷售額即可．

解答 解：（1）設y=kx+b，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{55k+b=450}\\{60k+b=400}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=1000}\end{array}\right.$，
則函數關系式為：y=-10x+1000，（x≥50）

（2）由題意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x²+1400x-40000=-10（x-70）²+9000，
∵-10＜0，
∴函數圖象開口向下，對稱軸為直線x=70，
∴當40＜x＜70時，銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大；

（3）∵購進該商品的貨款不超過8000元，
∴y的最大值為$\frac{8000}{40}$=200（件）．
由（1）知y隨x的增大而減小，
∴x的最小值為：x=80，
由（2）知 當x≥70時，S隨x的增大而減小，
∴當x=80時，銷售利潤最大，
此時S=8000，即該商家最大捐款數額是8000元．

點評 本題考查了二次函數的應用，難度一般，解答本題的關鍵是將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題．