Question

14．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CA=15cm，CB=20cm，以CA為半徑的⊙C交AB于D，求AD的長．

Answer 1

分析 先根據勾股定理求出AB的長，過C作CM⊥AB，交AB于點M，由垂徑定理可知M為AD的中點，由三角形的面積可求出CM的長，在Rt△ACM中，根據勾股定理可求出AM的長，進而可得出結論．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=15，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+2{0}^{2}}$=25．
過C作CM⊥AB，交AB于點M，如圖所示，
∵CM⊥AB，
∴M為AD的中點，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CM，且AC=15，BC=20，AB=25，
∴CM=$\frac{15×20}{25}$=12，
在Rt△ACM中，根據勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即225=AM²+144，
解得：AM=9，
∴AD=2AM=18．

點評 本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．