Question

9．在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接FA、FB，線段FB與AC交于點(diǎn)G，過B作BH⊥DE交DE的延長線于點(diǎn)H，若BH=3，AG：GC=$\sqrt{3}$：1，則△AFG的面積為9$\sqrt{3}$-$\frac{27}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)求得AD=BC，∠BCD=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求得CG=GE=GD，∠GCD=∠GDC，根據(jù)等量減等量求得∠BCG=∠ADG，根據(jù)SAS求得△ADG≌△BCG，從而證得GA=GB，過點(diǎn)H作HN⊥BC于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得△CHN為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得HN=CN，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求出$\frac{BN}{CN}$=$\sqrt{3}$，即$\frac{HN}{BN}$=$\sqrt{3}$，然后求出∠HBN=30°，然后判斷出△ABG是等邊三角形，再求出∠AGD=75°，然后根據(jù)平角等于180°求出∠BGM=45°，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$得到AB=AF=BF=3$\sqrt{2}$，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：連接CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠BCD=90°，
又∵點(diǎn)F為DE中點(diǎn)，
∴CF=FE=FD，
∴∠FCD=∠FDC，
∴∠BCF=∠ADF，
在△ADF與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADF=∠BCF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴FA=FB，
如圖，過點(diǎn)G作GN⊥BC于N，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠ACB=45°，
∴△CGN為等腰直角三角形，
∴GN=CN，
易得AB∥GN，
∴$\frac{BN}{CN}$=$\frac{AG}{CG}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BN}{GN}$=$\sqrt{3}$，
∴∠GBN=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABG=90°-30°=60°，
由（1）知FA=FB，
∴△ABF是等邊三角形，
∴AD=AF=AB，
∴∠AFD=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠BFH=180°-75°-60°=45°，
∵BH⊥DE，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$BH=3$\sqrt{2}$，
∴AF=AB=3$\sqrt{2}$，
∴AC=6，
∴AG=9-3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{9-3\sqrt{3}}{6}$，
∵S_△ABC=9，
∴S_△ABG=$\frac{27-9\sqrt{3}}{2}$，
∵S_△ABF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（3$\sqrt{2}$）²=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴△AFG的面積=S_△ABF-S_△ABG=9$\sqrt{3}$-$\frac{27}{2}$．
故答案為：9$\sqrt{3}$-$\frac{27}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，求出∠HBN=30°是本題的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵．