Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，E是BC中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于F，求證：AB：BC=DF：BF．

Answer 1

分析 首先由直角三角形的性質(zhì)可得：△CBA∽△ABD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得：AB：BC=AD：BD，又由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，證得：ED=$\frac{1}{2}$BC=EC，可得：∠C=∠EDC，則易得：∠FBD=∠FDA，∠F為公共角，證得：△DAF∽△BDF，則得：AD：BD=DF：BF，則問題得證．

解答 證明：∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△CAB∽△BAD，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{BD}$，
∴AB：BC=AD：BD①，
∴∠C=∠FBD，
又∵E為AC的中點(diǎn)，BD⊥AC，
∴ED=$\frac{1}{2}$BC=EC，
∴∠C=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDA，
∴∠FBD=∠FDA，∠F為公共角，
∴△DAF∽△BDF，
∴AD：BD=DF：BF②，
由①②得，AB：BC=DF：BF．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．