Question

15．如圖，△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=30°，現將△ABC繞點A逆時針旋轉30°得到△ACD，延長AD，BC相交于點E，則DE的長是5$\sqrt{3}$-5．

Answer 1

分析 作CH⊥AE于H，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=75°，再根據旋轉的性質得AD=AB=10，∠CAD=∠BAC=30°，則利用三角形外角性質可計算出∠E=45°，接著在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三邊的關系得CH=$\frac{1}{2}$AC=5，AH=$\sqrt{3}$CH=5$\sqrt{3}$，所以DH=AD-AH=10-5$\sqrt{3}$，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=5，于是可得DE=EH-DH=5$\sqrt{3}$-5．

解答 解：作CH⊥AE于H，如圖，
∵AB=AC=10，
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°．
∵將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點B落在點C處，此時點C落在點D處，
∴AD=AB=10，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°-30°=45°．
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=5，AH=$\sqrt{3}$CH=5$\sqrt{3}$，
∴DH=AD-AH=10-5$\sqrt{3}$，
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=5，
∴DE=EH-DH=5-（10-5$\sqrt{3}$）=5$\sqrt{3}$-5．
故答案為5$\sqrt{3}$-5．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了解直角三角形，等腰三角形的性質和含30度角的直角三角形的性質．