Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=30°，CD⊥AB于D點，BC=1，點P是直線BC上一動點，連結AP．若點E是AP的中點，則DE的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 延長AB到F點，使DF=AD，連接CF，作FH⊥BC于H，如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關系計算出FH=$\sqrt{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再證明DE為△AFP的中位線得到DE=$\frac{1}{2}$FP，利用垂線段最短，當點P在H點的位置時，FP的值最小，
于是得到DE的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：延長AB到F點，使DF=AD，連接CF，作FH⊥BC于H，如圖，

在Rt△ABC中，∵∠CAB=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，
在Rt△BCD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，CD=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△CDF中，DF=$\sqrt{3}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴BF=1，
在Rt△BFH中，BH=$\frac{1}{2}$，FH=$\sqrt{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DA=DF，AE=EP，
∴DE為△AFP的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$FP，
當點P在H點的位置時，FP的值最小，
∴DE的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系和直角三角形斜邊上的中線性質．